SMA/SMIA (semestre1)

Analyse 1

 

 

 


Table de matière

•  Ch. I. Nombres réels 

Majorant, Minorant, Borne supérieure et borne inférieure, caractérisation de IR par la
propriété de la borne supérieure, Propriété d’Archimède, partie entière, densité dans
un intervalle de IR, densité de Q dans IR, approximation décimale d’un nombre réel.

• Ch. II. Suites numériques

Suites, convergence, opérations sur les limites suites, limites usuelles, limites
séquentielles, Suites monotones, Suites adjacentes (erreur d’approximation de la
limite), Critères de convergence, Suites extraites, Valeurs d’adhérence et Théorème de
Bolzano Weierstrass ; suites de cauchy ; Suites récurrentes.

• Ch. III. Fonctions réelles d’une variable réelle

Limite d’une fonction, caractérisation séquentielle des limites, Opérations algébriques sur les limites, Continuité, Théorème des valeurs intermédiaires, image d’un intervalle
et d’un segment par une application continue; fonction monotone, Théorème de la
limite monotone, Théorème de la bijection. Fonctions réciproques des fonctions
circulaires et hyperboliques. Continuité uniforme, fonctions lipschitzienne, Théorème
de Heine.

• Ch. IV. Fonctions dérivables

Définition de la dérivée (à gauche et à droite). Interprétation géométrique de la
dérivée, Opérations sur les dérivées, dérivation de la fonction réciproque. Théorèmes
de Rolle et des accroissements finis.

SMA/SMIA (semestre2)

Analyse 2

Table de matière

  Intégration 

• I. Intégrale de Riemann

Subdivisions, Fonction en escalier, Intégrale d’une fonction en escalier,
Intégrale au sens de Riemann, Formules de la moyenne.

• II. Calcul des primitives 

Théorèmes de calcul intégral. Intégration par parties. Changement de
variables. Primitives des fonctions usuelles et des fractions rationnelles,
trigonométriques, hyperboliques.
  

• III. Intégrale généralisée

Définitions et exemples. Critères généraux de convergence.

• IV. Equations différentielles

Equations différentielles du premier ordre : Equations linéaires du premier
ordre. Exemples d’étude d’équations différentielles non linéaires du premier
ordre. Equations différentielles linéaires du second ordre : Equations
linéaires du second ordre à coefficients constants. Exemples d’équations à
coefficients non constants.

• V. Courbes paramétrées et courbes polaires 

Fonctions vectorielles à variable réelle. Limite, dérivée d'une fonction
vectorielle. Constructions des courbes planes. Courbes définies en coordonnées
polaires. Repère mobile Tangente en un point. Concavité et branches infinies,
Construction des courbes polaires.

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exercices du mathématique